Verwarm de oven voor op 400F. Bestrijk een grote bakplaat met 1/2 theelepel olie. Snijd de prosciutto in vierkantjes van 1 tot 1 1/2 inch en leg ze op de bakplaat. Bestrijk de prosciutto met 1/2 theelepel olie. Bak tot ze knapperig zijn, 5 tot 7 minuten. Breng de prosciuttochips voorzichtig met een spatel over naar een rooster (als u ze op de bakplaat laat liggen, worden ze niet zo knapperig).

Doe ondertussen de bieten in een grote steelpan met genoeg water om minstens 2 centimeter te bedekken. Breng aan de kook; zet het vuur laag om zachtjes te blijven sudderen en kook ze gaar als u er met een vork in prikt, 20 tot 30 minuten. (Als u grotere bieten gebruikt, kunnen ze er 40 minuten over doen.) Giet ze af en laat ze staan tot ze koel genoeg zijn om te hanteren. Snijd beide uiteinden van de bieten bij en wrijf de velletjes eraf. Snijd ze in partjes.

Doe, terwijl de bieten koken, de ui met de resterende 1 eetlepel olie, tijm, zout en peper in een kleine steelpan. Dek af en kook op een matig laag vuur, onder regelmatig roeren, gedurende 10 minuten. Haal het deksel eraf en kook verder tot de ui zeer zacht en gekarameliseerd is, nog 8 tot 10 minuten. (Als de ui bruin begint te worden voordat hij heel zacht is, voeg dan telkens 1 eetlepel water toe). Haal van het vuur, dek af en laat 10 minuten staan.

Roer de ui en schraap alle bruine stukjes op. Zet 1/4 kopje opzij en doe de resterende ui in een keukenmachine of blender. Voeg karnemelk, azijn, mayonaise en bieslook toe; pureer tot een gladde massa.

Schep de sla, de resterende 1/4 kopje ui en de dressing door elkaar in een grote kom. Verdeel over 6 borden. Leg er de bieten en de prosciuttochips op.